Ag iontaigreadh abairtean sìmplidh ailseabrach

'S e iontaigreadh am pròiseas inbhearsach aig diofarachadh. Canaidh cuid anti-dhiofarachadh ris.

An àite a bhith ag iomadachadh a' chumhachd ris an aghaidh agus a' toirt-air-falbh aon bhon chumhachd, bidh sinn a' cur aon ris a' chumhachd agus an uair sin a' roinn leis a' chumhachd ùir.

Eisimpleir

\[\int {{x^2}}\,\, dx\]

Fuasgladh

Tha seo dìreach a' ciallachadh iontagraich \({x^2}\) a thaobh \(x\). Cuimhnich gun cuir thu aon ris a' chumhachd agus gun roinn thu leis a' chumhachd ùir.

\[\int {{x^2}}\,\, dx\]

\[= \frac{{{x^3}}}{3} + c\]

Tha \(+ c\) a' nochdadh oir, nuair a dhiofaraicheas tu teirm cunbhalach, 's e neoni am freagairt. Mar sin bhon a tha sinn a' dèanamh 'anti-dhiofarachadh', tha sinn a' gabhail ris gur dòcha gun robh teirm cunbhalach ann a chaidh a bheagachadh gu neoni le diofarachadh. Canar an cunbhal iontaigreachaidh ris an \(c\) seo.

Sa chumantas:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = a{x^n} \to y = \frac{{a{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c\) a' toirt dhuinn \(n \ne - 1\)

curriculum-key-fact
  • Tha sin a' ciallachadh gum bi thu a' cur aon ris a' chumhachd, a' roinn a' chumhachd ùir agus a' cur-ris a' chunbhal iontaigreachaidh.

Question

Obraich a-mach \(\int {({x^4}} + {x^3})\,\,dx\)

\[\int {({x^4}} + {x^3})\,\,dx\]

\[= \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^4}}}{4} + c\]

Question

Obraich a-mach \(\int {(4{x^3}} + 7{x^{ - 2}})\,\,dx\)

\[\int {(4{x^3}} + 7{x^{ - 2}})\,\,dx\]

\[= \frac{{4{x^4}}}{4} + \frac{{7{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + c\]

\[= {x^4} - \frac{7}{x} + c\]

Question

Obraich a-mach \(\int {{{(x + 2)}^2}}\,\,dx\)

Tha an aon seòrsa riaghailtean an lùib iontaigreachaidh far am feum sinn na camagan a thoirt air falbh an toiseach oir feumaidh an abairt a bhith na thoraidhean agus/no na dhiofaran de theirmean san riochd \(a{x^n}\).

\[\int {{{(x + 2)}^2}}\,\, dx\]

\[= \int {({x^2}}+ 4x + 4)\,\,dx\]

\[= \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{4{x^2}}}{2} + 4x + c\]

\[= \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 4x + c\]

Question

Obraich a-mach \(\int {\frac{{x + \sqrt x + \sqrt[3]{x}}}{x}}\,\,dx\)

\[\int {\frac{{x + \sqrt x + \sqrt[3]{x}}}{x}}\,\,dx\]

\[= \int {\frac{{x + {x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{3}}}}}{x}}\,\,dx\]

\[= \int {\frac{x}{x}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{x} + \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{x}\,\,dx\]

\[= \int {(1 + {x^{ - \frac{1}{2}}}} + {x^{ - \frac{2}{3}}})\,\,dx\]

\[= x + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}}}{{\frac{1}{3}}} + c\]

\[= x + 2\sqrt x + 3\sqrt[3]{x} + c\]