A' cleachdadh acosx + bsinx

Uair sam bith a gheibh thu abairt san riochd, a\cos x + b\sin x tha e nas fheàrr an abairt a sgrìobhadh ann an aon de na riochdan k\cos (x \pm \alpha ) no k\sin (x \pm \alpha ) mus freagair thu a' cheist.

Nuair a bhios tu air an riochd seo ath-sgrìobhadh, obraichidh tu a-mach:

  • an luach as motha, a th' air a thoirt dhut le k (bhon as e 1 an luach as motha aig sine/cosine)
  • an luach as lugha, a th' air a thoirt dhut le - k (bhon as e -1 an luach as lugha aig sine/cosine)
  • gu bheil na freumhan aig a\cos x + b\sin x = 0 ann nuair a tha an dara cuid \sin (x \pm \alpha ) = 0 no \cos (x \pm \alpha ) = 0

Faodaidh tu cuideachd am fiosrachadh gu h-àrd a chleachdadh gus sgeidse a dhèanamh dhen ghraf aig y = a\cos x + b\sin x.

Seo eisimpleir a sheallas dhut mar a bhios na puingean seo ag obrachadh.

Eisimpleir

Faodaidh sinn \sqrt 5 \sin x + 2\cos x ath-sgrìobhadh mar 3\cos (x - 0.841)

Faodaidh tu do sgilean a thoirt air adhart le bhith a' feuchainn ri fhaighinn dhan riochd seo thu fhèin.

  • 1. Sgriobh na luachan as motha agus as lugha aig \sqrt 5 \sin x + 2\cos x agus an luach(an) aig x anns a' bheàrn 0 \le x \le 2\pi far a bheil iad sin a' nochdadh.
  • 2. Obraich a-mach freumhan a' cho-aontair \sqrt 5 \sin x + 2\cos x = 0 anns a' bheàrn 0 \le x \le 2\pi
  • 3. Sgeids an graf aig y = \sqrt 5 \sin x + 2\cos x airson 0 \le x \le 2\pi
  • 4. Gus na luachan as motha agus as lugha obrachadh a-mach, dìreach coimhead air a' cho-aontar san riochd ath-sgrìobhte aige. Tha na luachan as motha agus as lugha air an toirt dhuinn le k agus - k san òrdugh sin.

Mar sin, 's e 3 an luach as motha an seo. Tha seo a' tachairt nuair a tha \cos (x - 0.841) = 1 agus mar sin tha x-0.841=\pi no 2\pi.

Cha choimhead sinn air 2\pi  + 0.841 mar fhuasgladh comasach oir chan eil e san raon chomharraichte. Tha sin a' fàgail x = 0.841.

'S e -3 an luach nuair a tha cos (x-0.841)= -1 agus mar sin tha x-0.841=\pi.

Fuasgail an co-aontar seo gus am faigh thu x = \pi  + 0.841 = 3.983

  • 5. Tha freumhan a' cho-aontair far a bheil an graf a' trasnadh an x-axis. An seo faodaidh sinn a ràdh gu bheil na freumhan ann nuair a tha cosine a' cheàirn aig neoni.

\sqrt 5 \sin x + 2\cos x = 0 \Leftrightarrow 3\cos (x - 0.841) = 0

Mar sin \cos (x - 0.841) = 0

Agus x - 0.841 = \frac{\pi }{2} no \frac{{3\pi }}{2}

Mar sin x = \frac{\pi }{2} + 0.841 no \frac{{3\pi }}{2} + 0.841

x = 2.412\,no\,5.553

  • 6. Le bhith a' comharrachadh nam puingean eadar 1. agus 2. gu h-àrd, gheibh sinn an graf a leanas:

Cosine graph shifted right by 1/4 pi

curriculum-key-fact
  • Gus co-aontar san riochd a\cos x + b\sin x = cfhuasgladh, feumaidh tu an taobh clì ath-sgrìobhadh san riochd k\cos (x \pm \alpha ) no k\sin (x \pm \alpha ) mus tèid agad air fhuasgladh.

Chì thu mar a tha am pròiseas ag obrachadh san eisimpleir gu h-ìosal.

Question

Fuasgail \cos x - \sin x = \frac{1}{2} airson 0 \le x \le 2\pi

'S e an riochd as freagarraiche airson seo k\cos (x + \alpha ) agus mar sin tha \cos x - \sin x a' dol gu \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).

Feuch gun tèid agad fhèin air seo obrachadh a-mach. Mura bheil thu cinnteach, theirig air ais chun na h-earrainn roimhe agus thoir sùil eile air a' phròiseas.

Mar sin tha \cos x - \sin x = \frac{1}{2} air fhuasgladh le \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}

\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} agus mar sin:

x + \frac{\pi }{4} = {\cos ^{ - 1}}\frac{1}{{2\sqrt 2 }} a' toirt:

x + \frac{\pi }{4} = 1.209 no 5.074

Mar sin x = 1.209 - \frac{\pi }{4} no 5.074 - \frac{\pi }{4}

Cuimhnich gu bheil dà fhuasgladh ann.

Mar sin x = 0.424 no \,4.289 gu trì ionadan deicheach.

Mar sin 's e an dà fhuasgladh \{ 0.424,\,4.289\}

Move on to Test
next