Hafaliadau cydamserol

Gall hafaliadau sy’n cynnwys mwy nag un anhysbysyn gael nifer anfeidraidd o atebion sy’n eu gwneud yn wir. Er enghraifft, gallwn ddatrys 2x + y = 10 drwy gael:

  • x = 1 ac y = 8
  • x = 2 ac y = 6
  • x = 3 ac y = 4

Er mwyn gallu datrys hafaliad fel hwn, rhaid i ni ddefnyddio hafaliad arall ochr yn ochr ag ef. Drwy wneud hyn, mae’n bosib i ni ganfod yr unig bâr o werthoedd sy’n datrys y ddau hafaliad ar yr un pryd. Yr enw ar y rhain yw hafaliadau cydamserol.

Dyma rai enghreifftiau:

3x + y = 11

2x + y = 8

Mae gwerthoedd x ac y yr un peth yn y ddau hafaliad. Gallwn ddefnyddio’r ffaith hon i’n helpu i ddatrys y ddau hafaliad cydamserol ar yr un pryd a chanfod gwerthoedd x ac y.

Datrys hafaliadau cydamserol drwy gael gwared ag anhysbysyn

Y dull mwyaf cyffredin ar gyfer datrys hafaliadau cydamserol yw’r dull dileu. Golyga hyn y byddwn yn cael gwared ag un llythyren o’r hafaliad drwy ddefnyddio algebra. Yna gallwn gyfrifo’r llythyren sydd ar ôl. Gallwn wneud hyn os yw cyfernod un o’r llythrennau’r un fath, beth bynnag fo’r arwydd.

Enghraifft

Datrysa’r hafaliadau cydamserol hyn:

3x + y = 11

2x + y = 8

Yn gyntaf, penderfyna pa newidyn sydd â’r un cyfernod. Yn yr enghraifft hon, mae hyn yn wir am y llythyren y, sydd â chyfernod o 1 yn y ddau hafaliad.

Rhaid i ni naill ai adio neu dynnu’r ddau hafaliad o’i gilydd er mwyn cael gwared â’r llythyren y. Yn yr enghraifft hon, bydd yn rhaid i ni dynnu un hafaliad o’r llall gan fod y - y = 0.

Pe bai’r hafaliadau’n cael eu hadio at ei gilydd, yna byddai gennyn ni y + y = 2y, ac felly ni fydden ni wedi cael gwared â’r llythyren y.

\begin{array}{ccccc} 3x & + & y & = & 11 \\ - && - && - \\ 2x & + & y & = & 8 \\ = && = && = \\ x &&& = & 3 \end{array}

Gall gwerth x nawr gael ei amnewid yn y naill hafaliad neu’r llall er mwyn canfod gwerth y.

Amnewidia x = 3 yn naill ai 3x + y = 11 neu 2x + y = 8.

3x + y = 11 pan fo x = 3

Amnewidia x = 3:

3~\mathbf{\times~3} + y = 11

9 + y = 11

Canfydda werth y gan ddefnyddio gweithrediadau gwrthdro i ddatrys hafaliadau. Y gwrthdro o adio 9 yw tynnu 9, felly tynna 9 o’r ddwy ochr:

9 + y - 9 = 11 - 9

y = 2

Gwiria’r atebion drwy amnewid y ddau werth yn yr hafaliad gwreiddiol arall. Os yw’r hafaliad yn cydbwyso, yna mae’r atebion yn gywir:

2x + y = 8 pan fo x = 3 ac y = 2.

2~\mathbf{\times~3} + \mathbf{2} = 8

6 + 2 = 8

8 = 8