A' diofarachadh abairtean sìmplidh ailseabra

Bidh sinn a' cleachdadh diofarachadh ann am matamataig gus reatan atharrachaidh obrachadh a-mach.

Mar eisimpleir ann am meacanaigs, 's e reat atharrachaidh an ùine-gluasaid (co-cheangailte ri ùine) a th' ann an atharrachadh-cùrsa. 'S e luathachadh a chanas sinn ri reat atharrachaidh an atharrachaidh-cùrsa (co-cheangailte ri ùine).

'S urrainn dhuinn an reat atharrachaidh aig fuincsean \(f(x)\) a thaobh \(x\) a lorg le bhith ag obrachadh a-mach an fhuincsean dheribheatach \(f\textquotesingle(x)\).

Airson co-aontar a' tòiseachadh \(y =\), gheibh sinn an reat atharrachaidh le bhith a' diofarachadh \(y\) a thaobh \(x\). San riochd chomharraidh aige, tha seo air a sgrìobhadh mar \(\frac{{dy}}{{dx}}\). Canar cuideachd 'Comharradh Leibniz' ris an seo.

Faodaidh ceist iarraidh ort diofarachadh ann an iomadh dòigh:

  • Diofaraich am fuincsean...
  • Obraich a-mach \(f\textquotesingle(x)\)
  • Obraich a-mach \(\frac{{dy}}{{dx}}\)
  • Obraich a-mach an reat atharrachaidh aig...
  • Lorg an deribheataibh aig…
  • Obraich a-mach caisead an tansaint don lùb...

'S e an riaghailt choitcheann airson diofarachadh:

\[f(x) = a{x^n} \rightarrow f\textquotesingle(x)= na{x^{n - 1}}\]

curriculum-key-fact
  • Tha sin a' ciallachadh gum bi thu a' toirt a' chumhachd a-nuas chun na h-aghaidh gus iomadachadh agus 1 a thoirt-air-falbh bhon chumhachd.

Question

Diofaraich \(y = {x^5}\)

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 5{x^4}\]

Question

Obraich a-mach an deribheataibh aig \(f(x) = 4{x^3}\)

\[f\textquotesingle(x)= 12{x^2}\]

Nuair a bhios sinn ag obrachadh a-mach an reat atharrachaidh no an caisead aig tansaint do lùb, feumaidh sinn am freagairt deireannach aig an abairt dhiofaraichte a sgrìobhadh gun chumhachdan àicheil no bloigheach. Le bhith a' dèanamh sin, tha e gu math nas fhasa luachan sònraichte a lorg gun àireamhair.

Gus cumhachdan àicheil no bloigheach a thoirt-air-falbh, feumaidh sinn cuimhneachadh air riaghailtean nan indeacsan. Seo na dhà a bhios feumail dhuinn:

\[{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\]

\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

Eisimpleir

Obraich a-mach an reat atharrachaidh aig \(f(x) = 4{x^{ - 2}}\) aig \(x = 3\).

Fuasgladh

A' cleachdadh \(f(x) = a{x^n} \rightarrow f\textquotesingle(x)= na{x^{n - 1}}\), gheibh sinn:

\[f\textquotesingle(x)= - 8{x^{ - 3}}\]

Tha e doirbh luach obrachadh a-mach nuair a tha \(x = 3\) gun àireamhair. Mar sin feumaidh sinn riaghailtean nan indeacsan a chleachdadh gus seo atharrachadh gu cumhachd dhearbhte.

\[f\textquotesingle(x)= \frac{{ - 8}}{{{x^3}}}\]

A-nis, nuair a tha \(x = 3\),

\[f\textquotesingle(3) = \frac{{ - 8}}{{{3^3}}} = \frac{{ - 8}}{{27}}\]

Question

Obraich a-mach caisead an tansaint don lùb leis a' cho-aontar \(y = 3{x^{\frac{2}{3}}}\) aig a' phuing nuair a tha \(x = 8\).

\[\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{2}}{{3}}\times3{x^{\frac{-1}{3}}} \]

\[= 2{x^{\frac{-1}{3}}}\]

\[= \frac{2}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}\]

A-nis, nuair a tha \(x = 8\),

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{2}{{\sqrt[3]{8}}} = \frac{2}{2} = 1\]

Mar sin 's e 1 caisead an tansaint don lùb.

Bha abairtean glè shìmplidh sna h-eisimpleirean roimhe. Uaireannan cha tèid againn air abairtean a dhiofarachadh san riochd sa bheil iad againn oir feumaidh na h-abairtean a bhith nan toraidhean agus/no nan diofaran de theirmean den riochd \(a{x^n}\).

Mus dèan thu diofarachadh:

  • Thoir air falbh na camagan
  • Atharraich bloighean le bàrr 'nas motha'
  • Atharraich teirmean le freumhan gu cumhachdan bloigheach
  • Atharraich teirmean le \(x\) air an t-seòrsaiche gu cumhachdan àicheil

Eisimpleir

Diofaraich \(y = \frac{4}{{\sqrt x }}\)

Fuasgladh

\[y = \frac{4}{{{x^{\frac{1}{2}}}}} = 4{x^{ - \frac{1}{2}}}\]

Bhon a tha e a-nis san riochd cheart, thèid againn air diofarachadh a dhèanamh.

\[\frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{1}{2} \times 4{x^{ - \frac{3}{2}}}\]

\[-2x^{\frac{-3}{2}}\]

\[=\frac{-2}{x^{\frac{3}{2}}}\]

\[= \frac{{ - 2}}{{\sqrt[2]{{{x^3}}}}}\]

Question

Obraich a-mach an deribheataibh aig \(f(x) = \frac{{{x^2} + 5}}{x}\)

Feumaidh sinn am bloigh le bàrr nas motha atharrachadh an toiseach, agus an uair sin cleachdaidh sinn riaghailtean nan indeacsan gus an riochd ceart fhaighinn gus a dhiofarachadh.

\[f(x) = \frac{{{x^2}}}{x} + \frac{5}{x}\]

\[f(x) = x + 5{x^{ - 1}}\]

\[f\textquotesingle(x)= {x^{0}} - 5{x^{ - 2}}\]

\[f\textquotesingle(x)= 1 - \frac{5}{{{x^2}}}\]

Question

Obraich a-mach an deribheataibh aig \(y = (x + 1)(x - 3)\)

Thoir air falbh na camagan an toiseach, agus an uair sin diofaraich.

\[y = {x^2} - 2x - 3\]

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 2{x^{1}} - 2{x^{0}}\]

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 2x - 2\]