An fharsaingeachd eadar lùb agus loidhne dhìreach

Gus na crìochan iontagrachaidh obrachadh a-mach, feumaidh sinn an toiseach:

  • dèanamh cinnteach a bheil an lùb agus an loidhne dhìreach a' trasnadh
  • obrachadh a-mach dè na puingean aig a bheil iad a' trasnadh

Gus seo a dhèanamh, feumaidh sinn sùil eile a thoirt air an discriminant agus air trasnaidhean.

Eisimpleir

Obraich a-mach an fharsaingeachd eadar an lùb agus an loidhne dhìreach gu h-ìosal.

Area between curve f(x)=x^2 and line g(x)=x

Fuasgladh

An toiseach, feumaidh sinn dearbhadh a bheil no nach eil an lùb agus an loidhne dhìreach a' trasnadh le bhith a' cleachdadh an discriminant.

Cuimhnich gun dèan thu an taobh deas aig an dà cho-aontar co-ionann ri chèile an toiseach.

\[{x^2} = x\]

\[{x^2} - x = 0\]

Chì sinn a-nis gu bheil \(a = 1,\,b = - 1\) agus \(c = 0\).

\[{b^2} - 4ac\]

\[= {( - 1)^2} - (4 \times 1 \times 0)\]

\[= 1 - 0\]

\[= 1\]

Mar sin tha \({b^2} - 4ac\textgreater0\) agus tha na freumhan fìor agus neo-ionann.

Obraichidh sinn a-nis a-mach na puingean seo le bhith a' dol air ais gu:

\[{x^2} - x = 0\]

\[x(x - 1) = 0\]

\(x = 0\) no \(x - 1 = 0\)

Mar sin tha \(x = 0\) no \(x = 1\)

Tha an lùb agus an loidhne dhìreach a' trasnadh nuair a tha \(x = 0\) agus \(x = 1\).

'S e 0 agus 1 na crìochan iontagrachaidh.

Mar sin 's e an fharsaingeachd:

\[Farsaingeachd = \int_{0}^{1} (mullach-bonn)dx\]

\[Farsaingeachd = \int\limits_0^1 {(x - {x^2}} )dx\]

\[= \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1\]

\[= \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) - (0)\]

\[= \frac{1}{6}\,aona{d^2}\]