An fharsaingeachd os cionn agus fon x-axis

Gus an fharsaingeachd fon \(x\)-axis obrachadh a-mach, cleachd an aon dòigh 's a bhiodh agad airson os cionn an \(x\)-axis.

Eisimpleir

Obraich a-mach a' phàirt dhathte eadar an lùb agus an \(x\)-axis mar a chì thu gu h-ìosal.

Area between the curve y=x^2-6x and the x-axis

Fuasgladh

An toiseach faigh a-mach càit a bheil an lùb a' gearradh an \(x\)-axis. Cuimhnich gum bi lùb a' gearradh an \(x\)-axis nuair a tha \(y = 0\).

\[{x^2} - 6x = x(x - 6) = 0\]

\[\Rightarrow x = 0,\,6\]

\(\Rightarrow (0,0)\) agus \((6,0)\)

Bhon a tha an lùb fon \(x\)-axis, bidh an iontagral bho \(0\) gu \(6\) àicheil. Mar sin tha seo againn:

\[- \int\limits_0^6 {({x^2} - 6x} )dx\]

\[= - \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2}} \right]_0^6\]

-\(= (0) - (72 - 108)\)

\[= 36 \,aonada{n^2}\]

Eisimpleir: leudachadh

Obraich a-mach an fharsaingeachd-uachdair iomlan aig an lùib \(y = {x^3}\) agus an \(x\)-axis eadar \(x = 2\) agus \(x = - 2\).

Working out the area above and below the curve

Fuasgladh

Nuair a bhios ceist agad far a bheil pàirt dhen fharsaingeachd os cionn an \(x\)-axis agus pàirt fodha, bu chòir dhut gach farsaingeachd obrachadh a-mach agus an uair sin an cur-ris aig an deireadh.

Farsaingeachd os cionn na lùib

\[\int\limits_0^2 {{x^3}} dx\]

\[= \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^2\]

\[= \left( {\frac{{{{(2)}^4}}}{4}} \right) - \left( {\frac{{{{(0)}^4}}}{4}} \right)\]

\[= \frac{{16}}{4} - 0\]

\[= 4\,aonada{n^2}\]

Farsaingeachd fon lùib

\[- \int\limits_{ - 2}^0 {{x^3}} dx\]

\[= - \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 2}^0\]

\[= - \left( {\frac{{{{(0)}^4}}}{4}} \right) - \left( {\frac{{{{( - 2)}^4}}}{4}} \right)\]

\[- \left( {0 - \frac{{16}}{4}} \right)\]

\[= 4\,aonada{n^2}\]

\[Farsaingeachd\,iomlan = 4 + 4\]

\[= 8\,aonada{n^2}\]