An fharsaingeachd eadar lùb agus an x-axis

Gus an fharsaingeachd eadar lùb agus an \(x\)-axis obrachadh a-mach, feumaidh sinn luachadh a dhèanamh a' cleachdadh iontagralan deimhinnte.

Eisimpleir

Obraich a-mach a' phàirt dhathte gu h-ìosal:

Area under the curve y=x^2-4x+5 between the y-axis and x=5

Fuasgladh

\[\int\limits_0^5 {({x^2}} - 4x + 5)dx\]

\[= \left[ {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 5x} \right]_0^5\]

\[= \left( {\frac{{125}}{3} - 50 + 25} \right) - \left( 0 \right)\]

\[= \frac{{125}}{3} - 25\]

\[= \frac{{50}}{3} \,aonada{n^2}\]

'S dòcha gum feum thu crìochan an iontagrachaidh a lorg mus obraich thu a-mach an fharsaingeachd fo lùb.

Eisimpleir

Obraich a-mach an fharsaingeachd fon lùib \(y = 4x - {x^2}\)

Area between the curve y=4x-x^2 and the x-axis

Fuasgladh

An toiseach, feumaidh sinn faighinn a-mach càit a bheil an lùb a' gearradh an \(x\)-axis. Cuimhnich gum bi lùb a' gearradh an \(x\)-axis nuair a tha \(y = 0\).

\[4x - {x^2} = 0\]

\(x(4 - x) = 0\) - factaraich le bhith a' toirt air falbh factar cumanta de \(x\)

\(x = 0\) no \(4 - x = 0\)

Mar sin tha \(x = 0\) no \(x = 4\)

Tha an lùb a' gearradh an \(x\)-axis aig \((0,0)\) agus \((4,0)\)

'S e \(0\) agus \(4\) crìochan an iontagrachaidh.

Mar sin 's e an fharsaingeachd:

\[\int\limits_0^4 {(4x - {x^2}} )dx\]

\[= \left[ {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\]

\[= \left( {32 - \frac{{64}}{3}} \right) - \left( 0 \right)\]

\[= \frac{{32}}{3}\,aonada{n^2}\]